Question

已知函数f（x）=-sin²x+sinx+a，若1≤f（x）≤4对一切x∈R恒成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

∵y=f（x）=-sin²x+sinx+a，
令t=sinx，则y=-t²+t+a（-1≤t≤1），
由于y=-t²+t+a的对称轴是t=

1

2

，
∴在-1≤t≤1上，根据二次函数的单调性，有：
当t=

1

2

时，y取得最大值，ymax=-(

1

2

)2+

1

2

+a=

1

4

+a，
当t=-1时，y取得最小值，y_min=-（-1）²+（-1）+a=a-2，
又∵1≤f（x）≤4对一切x∈R恒成立，
即：1≤y=-t²+t+a≤4对一切t∈[-1，1]恒成立，
所以有：

ymax≤4 ymin≥1

，即

1 4 +a≤4 a-2≥1

?3≤a≤

15

4

，
∴实数a的取值范围是[3，

15

4

]．