题目内容

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为棱形，∠DAB=60°，平面PCD⊥底面ABCD，E、F分别是CD、AB的中点．
（1）求证：BE⊥平面PCD．
（2）设G为棱PA上一点，且PG=2GA，求证：PC∥平面DGF．
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证明：（1）连接BD
因为底面ABCD为菱形，∠DAB=60°
所以DB=CB
因为E为CD的中点，
所以BE⊥CD
因为平面PCD⊥底面ABCD
且平面PCD∩底面ABCD=CD
BE?平面ABCD
所以BE⊥平面PCD
（2）连接AC交FD与点M，交BE于点N，连接MG
因为底面ABCD为菱形，
且E、F分别为CD，AB的中点，
所以DE∥BF，且DE=BF因此四边形DEBF为平行四边形，
所以BE∥DF．
因为E为CD的中点，所以CN=MN
同理AM=MN，
因此CM=2AM
又在△ACP中，PG=2GA
所以PC∥MG
又因为PC?平面DGF，GM?平面DGF，
所以PC∥平面DGF
练习册系列答案
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如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求三棱锥P-MBD的体积．
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小为45°，若存在，试求
AE
AP
的值，若不存在，请说明理由．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，点F是PB中点．
（Ⅰ）若E为BC中点，证明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC边上任一点，证明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直线PA与平面PDE所成角的正弦值．
如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，设PC与AD的夹角为θ．
（1）求点A到平面PBD的距离；
（2）求θ的大小；当平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ，求动点Q的轨迹方程．

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