Question

已知二次函数f（x）满足f（-1）=0，且x≤f（x）≤

1

2

（x²+1）对一切实数x恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析表达式．

Answer 1

分析：（1）取x=1，由1≤f（1）≤

1

2

（1+1），能够求出f（1）的值．
（2）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（-1）=0，f（1）=1，知

a-b+c=0 a+b+c=1

，所以a+c=b=

1

2

，由f（x）≥x，对x∈R恒成立，知ax²+（b-1）x+c≥0对x∈R恒成立，由此能求出f（x）的表达式．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）满足f（-1）=0，
且x≤f（x）≤

1

2

（x²+1）对一切实数x恒成立，
∴取x=1，得1≤f（1）≤

1

2

（1+1），
所以f（1）=1．
（2）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
因f（-1）=0，f（1）=1，
∴

a-b+c=0 a+b+c=1

，
∴a+c=b=

1

2

，
∵f（x）≥x对x∈R恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c≥0对x∈R恒成立，
∴

a＞0 △=(b-1)2-4ac≤0

∴

a＞0 ac≥ 1 16

∵a＞0，ac≥

1

16

＞0，
∴c＞0．
∵

1

2

=a+c≥2

ac

≥2

1 16

当且仅当a=c=

1

4

时，等式成立，
∴f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．

点评：本题考查二次函数的性质的综合应用，考查函数解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数恒成立条件的灵活运用．