Question

以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点的椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点M（，），斜率为1的直线l与E相交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）
（1）求E的方程；
（2）求l的方程．

Answer 1

解：（1）由已知得，c=2，
又2a=MF₁+MF₂=4
解得a=2 ，又b²=a²-c²=4，
所以椭圆E的方程为 ．
（2）设直线l的方程为y=x+m，
由 得4x²+6mx+3m²-12=0．①
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB的中点为E（x₀，y₀），
则x₀==-，
y₀=x₀+m=，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k==-1，
解得m=2．
故l的方程为：y=x+2．
分析：（1）根据椭圆焦点坐标，可知c=2，利用椭圆的定义可求出a的值，再根据b²=a²-c²求出b的值，即可求出椭圆E的方程；
（2）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程．
点评：此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．