题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a=1，k∈R且 $数学公式$ ，设F（x）=f（x）+（k-1）lnx，求函数F（x）在 $数学公式$ 上的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）由题设可得 $\text{[math]}$
因为函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，所以当x∈[1，+∞）时，不等式 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 恒成立
因为当x∈[1，+∞）时， $\text{[math]}$ 的最大值为1，所以实数a的取值范围是[1，+∞）
（Ⅱ）a=1时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
所以， $\text{[math]}$ …
（1）若k=0，则 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上，恒有F'（x）＜0，所以F（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递减
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
（2）k≠0时， $\text{[math]}$
（i）若k＜0，在 $\text{[math]}$ 上，恒有 $\text{[math]}$ ，所以F（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递减
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（ii）k＞0时，因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，所以F（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递减
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
综上所述：当k=0时， $\text{[math]}$ ，F（x）_max=e-1；当k≠0且 $\text{[math]}$ 时，F（x）_max=e-k-1， $\text{[math]}$

分析：（Ⅰ）求导函数 $\text{[math]}$ ，利用函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，可得x∈[1，+∞）时，不等式 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 恒成立，求出右边函数的最大值，即可求得实数a的取值范围；
（Ⅱ）a=1时， $\text{[math]}$ ，分类讨论：（1）若k=0，F（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递减；（2）k≠0时， $\text{[math]}$ ，确定函数的单调性，即可求得函数的最值．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导，恰当分类是关键．