题目内容
如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD和曲线段EF分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA，OB平行的栈桥MG、MK，且以MG、MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK．建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲线段EF的方程是xy=200（5≤x≤40），设点M的坐标为（s，t），记z=s•t．（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度（1）求z的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台MGK面积S△MGK关于z的函数解析式，并求出该面积的最小值．
分析：（1）由题意知，点M（s，t）在线段CD上，即s+2t=20；又因为MG∥OA，MK∥OB，所以，5≤s≤10；
∴z=s•t可以表示出来，从而求出z的取值范围；
（2）由题意知，点K(s，
)，G(
，t)，由MG∥OA，MK∥OB，可得MG、MK的长，即得三角形面积S△MGK的表示；根据解析式求出面积的最小值即可．
∴z=s•t可以表示出来，从而求出z的取值范围；
（2）由题意知，点K(s，
| 200 |
| s |
| 200 |
| t |
解答：解：（1）由题意知，点M（s，t）在线段CD：x+2y=20（0≤x≤20）上，即s+2t=20，
又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK，
所以，5≤s≤10；
∴z=s•t=s(10-
s)=-
(s-10)2+50，5≤s≤10；
所以，z的取值范围是：{z|
≤z≤50}；
（2）由题意，得K(s，
)，G(
，t)
所以，S△MGK=
•MG•MK=
(
-s)(
-t)=
(st+
-400)；
则：S△MGK=
(z+
-400)，z∈[
，50]，
因为，函数S△MGK=
(z+
-400)在z∈[
，50]单调递减，
所以，当z=50时，三角形观光平台的面积取最小值，为225平方米．
又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK，
所以，5≤s≤10；
∴z=s•t=s(10-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
所以，z的取值范围是：{z|
| 75 |
| 2 |
（2）由题意，得K(s，
| 200 |
| s |
| 200 |
| t |
所以，S△MGK=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 200 |
| t |
| 200 |
| s |
| 1 |
| 2 |
| 40000 |
| st |
则：S△MGK=
| 1 |
| 2 |
| 40000 |
| z |
| 75 |
| 2 |
因为，函数S△MGK=
| 1 |
| 2 |
| 40000 |
| z |
| 75 |
| 2 |
所以，当z=50时，三角形观光平台的面积取最小值，为225平方米．
点评：本题考查了一次函数，反比例函数模型的应用，利用三角形面积公式考查了基本不等式的应用；同时考查了一定的计算能力，所以要细心解答，以免出错．
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