Question

如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD和曲线EF分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤．为观光旅游需要，拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA，OB平行的栈桥MG，MK，且以MG，MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲线EF的方程是xy=200（x＞0），设点M的坐标为（s，t）．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度）
（1）求三角形观光平台MGK面积的最小值；
（2）若要使△MGK的面积不小于320平方米，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知，点 K(s，

200

s

)，G(

200

t

，t)，由MG∥OA，MK∥OB，可得MG、MK的长，即得三角形面积S_△MGK的表示，根据函数单调性求出面积的最小值即可．
（2）由题S_△MGK≥320，解得st的范围，将s消去可得关于t的一元二次不等式，解之即可求出t的范围．

解答：解：（1）由题G(

200

t

，t)，K(s，

200

s

)，且s+2t=20，0＜t＜10，
∴S△MGK=

1

2

MG•MK=

1

2

(

200

t

-s)(

200

s

-t)=

1

2

(st+

40000

st

)-200．
∵s+2t≥2

2st

，当且仅当s=2t时取“=”，∴0＜st≤50．
令st=μ，μ∈（0，50]，f(μ)=μ+

40000

μ

，
∴f′(μ)=1-

40000

μ2

＜0．
∴f（μ）在（0，50]上递减．∴(S△MGK)min=

1

2

f(50)-200=225．
（2）由题S_△MGK≥320，解得st≤40或st≥1000．
∴0＜（20-2t）t≤40，即t²-10t+20≥0．
∴t≤5-

5

或t≥5+

5

．
又0＜t＜10，∴t∈(0，5-

5

]∪[5+

5

，10)．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．