Question

已知三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c,设O为S在底面ABC上的射影.求证:

(1)O为△ABC的垂心;

(2)O在△ABC内;

(3)设SO=h,则++=.

Answer 1

证明:(1)∵SA⊥SB,SA⊥SC,

    ∴SA⊥平面SBC,BC平面SBC.

    ∴SA⊥BC.

    而AD是SA在平面ABC上的射影,

    ∴AD⊥BC.

    同理,可证AB⊥CF,AC⊥BE,故O为△ABC的垂心.

     (2)证明△ABC为锐角三角形即可.不妨设a≥b≥c,则底面三角形ABC中,

    AB=为最大,从而∠ACB为最大角.

    用余弦定理求得

    cos∠ACB=＞0,

    ∴∠ACB为锐角,△ABC为锐角三角形.

    故O在△ABC内.

     (3)SB·SC=BC·SD,

    故SD=,=+,

    又SA·SD=AD·SO,

    ∴===+=++=.