Question

等差数列{a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记S_n为{a_n}的前n项和，令b_n=a_na_n+1，数列{

1

bn

}的前n项和为T_n．
（1）求a_n；（2）求S_n；（3）求T_n．

Answer 1

分析：（1）等差数列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，可得关于首项和公差的方程组，解方程组求出基本项（首项与公差）可求数列的通项公式，
（2）由（1）结合等差数列的求和公式可求
（3）由（1）的结论，及b_n=a_na_n+1，可以给数列{

1

bn

}的通项公式及前n项和为T_n的表达式．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=7，a₁+a₂+a₃=12
∴

a1+2d=7 3a1+3d=12

解得

a1=1 d=3

∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=3n-2（n∈N^*）
（2）由（1）可得，Sn=n+

n(n-1)×3

2

=

3n2-n

2

+n=

3n2+n

2

（3）∵b_n=a_na_n-1，
∴b_n=（3n-2）（3n+1）
∴

1

bn

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)
∴数列{

1

bn

}的前n项和Tn=

1

3

[1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-5

-

1

3n-2

+

1

3n-2

-

1

3n+1

]=

1

3

(1-

1

3n+1

)

点评：通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，解题中也要注意数列性质的应用．还要注意数列的通项公式为

1

f(n)•f(n+1)

的形式时，常使用裂项法将数列的一项

1

f(n)•f(n+1)

分解为K[

1

f(n)

-

1

f(n+1)

]的形式，即裂项求和的应用