题目内容
已知函数f(x)=
x3+
ax2+ax-2(a∈R),(1)若函数f(x)在区间(-∞，+∞)上为单调增函数，求实数a的取值范围；
(2)设A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))是函数f(x)的两个极值点，若直线AB的斜率不小于-
，求实数a的取值范围.
解：(1)因为函数f(x)在(-∞，+∞)上为单调递增函数，
所以f′(x)=x2+ax+a＞0在(-∞，+∞)上恒成立.
由Δ=a2-4a＜0，解得0＜a＜4.
又当a=0时，f(x)=x3-2在(-∞，+∞)上为单调递增函数;
当a=4时，f(x)=x3+2x2+4x-2=(x+2)3-
在(-∞，+∞)上为单调递增函数，
所以0≤a≤4.
(2)依题意，方程f′(x)=0有两个不同的实数根x1、x2，
由Δ=a2-4a＞0，解得a＜0或a＞4,且x1+x2=-a，x1x2=a.
所以f(x1)-f(x2)=［
(x12+x1x2+x22)+
a(x1+x2)+a］(x1-x2).
所以
=
［(x1+x2)2-x1x2］+
a(x1+x2)+a=
(a2-a)+
a(-a)+a=-
a2+
a≥-
.
解之,得-1≤a≤5.
所以实数a的取值范围是-1≤a＜0或4＜a≤5.
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