Question

在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=1，在AB，AD，CB，CD上，分别截取AE=AH=CF=CG=x，设四边形EFGH的面积为y．
（1）写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式，并给出该函数的定义域；
（2）求当x为何值时y取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由关系S_{四边形EFGH}=S_矩形ABCD-S_△AEH-S_△CEF-S_△BEF-S_△DGH，即可求出表达式；
（2）利用（1）求出的关系式，再利用二次函数的性质即可求出最大值．

解答：解：（1）∵AE=AH=CF=CG，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，
∴y=S_矩形ABCD-2S_△AEH-2S_△EFB=2×1-2×

1

2

x2-2×

1

2

(2-x)(1-x)=-2x²+3x（0＜x≤1）．
（2）∵y=-2x2+3x=-2(x-

3

4

)2+

9

8

，
∴当x=

3

4

时，ymax=

9

8

．

点评：用间接的方法求出四边形EFGH的面积和利用二次函数的性质求最值是解题的关键．