Question

若函数y=log

(x2-ax-a) 2

的值域是R，且在（-∞，1-

3

）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：在函数y=log

(x2-ax-a) 2

中，令t=x²-ax-a；根据题意，若函数y=log

(x2-ax-a) 2

的值域是R，则t的最小值必然小于或等于0，则可得a²+4a≥0，又由f（x）在（-∞，1-

3

）上是减函数，则有

a

2

≤1-

3

，且t（1-

3

）＞0，综合三个式子可得不等式组，解可得答案．

解答：解：依题意，在函数y=log

(x2-ax-a) 2

中，令t=x²-ax-a，则y=log₂t；
若函数y=log

(x2-ax-a) 2

的值域是R，则二次函数t=x²-ax-a的最小值小于等于0，有a²+4a≥0，
若f（x）在（-∞，1-

3

）上是减函数，有

a

2

≥1-

3

，且t（1-

3

）＞0，
综合有 

a2+4a≥0 a 2 ≥ 1- 3 (1- 3) 2-a(1- 3 )-a＞0

，解可得0≤a＜2；
则a的取值范围是0≤a＜2．

点评：本题考查对数函数的性质，注意该函数的值域为R，必有a²+4a≥0，这是易错点．