Question

【题目】已知， 是的导函数.

（1）求的极值；

（2）证明：对任意实数，都有恒成立；

（3）若在时恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得处，进而，分和两种情况讨论，即可求解；

（Ⅱ）由，则要证 ，只需证.

令，利用导数得出函数的性质，即可作出证明．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知恒成立，可得，分和两种情况讨论，即可求解实数的值．

试题解析：

（Ⅰ）， ， ，

当时， 恒成立， 无极值；

当时， ，即，

由，得；由，得，

所以当时，有极小值.

（Ⅱ）因为，所以，要证 ，只需证.

令，则，且，得； ，得，

∴在上单调递减，在上单调递增,

∴，即恒成立,

∴对任意实数，都有 恒成立.

（Ⅲ）令，则，注意到，

由（Ⅱ）知恒成立，故，

①当时， ， ，

于是当时， ，即成立.

②当时，由（）可得（）.

，

故当时， ，

于是当时， ， 不成立.

综上， 的取值范围为．