Question

设数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+na_n=n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设b_n=

2n-1

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可得a₁+2a₂+3a₃++（n-1）a_n-1=n-1，两者相减，可得数列{a_n}的通项公式．
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法，可得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n①，
∴n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=n-1②
∴①-②可得na_n=1，∴a_n=

1

n

（n≥2）
又a₁=1也满足上式，∴数列{a_n}的通项为a_n=

1

n

；
（2）b_n=

2n-1

an

=n•2^n-1，
∴S_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1
则2S_n=4+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
相减得S_n=n•2ⁿ-（1+2+2²+2³+…+2^n-1）=（n-1）2ⁿ+1
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1（n∈N^*）．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，正确运用错位相减法是关键．