Question

已知函数

(Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；

(Ⅱ）讨论函数的单调区间；

(Ⅲ）若对于任意的，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ），得切线斜率为

据题设，，所以，故有

所以切线方程为即

(Ⅱ）

当时，由于，所以，可知函数在定义区间上单调递增

当时，，若，则，可知当时，有，函数在定义区间上单调递增

若，则，可得当时，；当时，.所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。

综上，当时，函数的单调递增区间是定义区间；当时，函数的单调增区间为，减区间为

(Ⅲ）当时，考查，不合题意，舍；

当时，由（Ⅱ）知.

故只需，即

令，则不等式为，且。

构造函数，则，知函数在区间上单调递增。

因为，所以当时，，

这说明不等式的解为，即得.

综上，实数的取值范围是_.