Question

已知函数f(x)=

3

sin(2x-

π

6

)+2sin2(x-

π

12

)．
①求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
②若x∈[

π

4

，

π

2

]，求函数f（x）的最大值及取最大值时对应的x值．

Answer 1

分析：①两角和差的正弦公式和二倍角公式，化简函数的解析式为 2sin（2x-

π

3

）+1，股周期 T=

2π

2

，
由  2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

 可得x的范围，即为所求．
②由

π

4

≤x≤

π

2

 得，

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，故当2x-

π

3

=

π

2

，函数有最大值．

解答：解：①函数f(x)=

3

sin(2x-

π

6

)+2sin2(x-

π

12

)=

3

sin（2x-

π

6

）+2

1-cos(2x- π 6 )

2

=

3

sin（2x-

π

6

）-cos（2x-

π

6

）+1=2sin（2x-

π

3

）+1，∴T=

2π

2

=π．
由  2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

 可得   kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，故函数f（x）的单调递增区间为
[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈z．
②由

π

4

≤x≤

π

2

 得，

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，故当2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5

12

π时，
f（x）max=31．

点评：本题考查两角和差的正弦、余弦公式，二倍角公式的应用，求函数f（x）的单调递增区间，是解题的难点．