Question

（附加题）
在数列{a_n}中，a₁=1，a _n+1=2a_n+2ⁿ．
（1）设b_n=．证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：由a _n+1=2a_n+2ⁿ．
两边同除以2ⁿ得

∴，
即b _n+1﹣b_n=1
b_n以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）得
∴a_n=n2 ^n﹣1
S_n=2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2 ^n﹣1
2S_n=2¹+2×2²+…+（n﹣1）2 ^n﹣1+n×2ⁿ
∴﹣S_n=2⁰+2¹+2²+…+2 ^n﹣1﹣n2ⁿ
               =
∴S_n=（n﹣1）2ⁿ+1