Question

已知定义域为R的函数f(x)=a+

1

4x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的单调性（不需要写出理由）；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（x）+f（-x）=0对应任意的x都成立，代入函数可求a
另解：由f（x）是R上的奇函数，可得f（0）=0，代入可求a
（2）由（1）知f(x)=-

1

2

+

1

4x+1

，结合指数函数的性质可判断函数单调性
（3）：解法一：由f（x）是奇函数，可得f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），结合f（x）在R上为减函数，得：t²-2t＞-2t²+k．，结合二次函数性质可求
解法二：由（1）知f(x)=

-4 x+1

2•4x+2

，由单调性的定义可得43t2-2t-k＞1，同法一可求

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为R，因为f（x）是奇函数，所以f（x）+f（-x）=0，
即a+

1

4x+1

+a+

1

4-x+1

=2a+

1

4x+1

+

4x

1+4x

=2a+1=0，
故a=-

1

2

．
另解：由f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，
故a=-

1

2

．
（2）由（1）知f(x)=-

1

2

+

1

4x+1

，
由上式易知f（x）在R上为减函数，
（3）：（解法一）又因f（x）是奇函数，从而不等式等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）．
∵f（x）在R上为减函数，由上式得：t²-2t＞-2t²+k．
即对一切t∈R有3t²-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0
∴k＜-

1

3

解法二：由（1）知f(x)=

-4 x+1

2•4x+2

，又由题设条件得：

-4 t2-2t+1

2•4t2-2t+2

+

-42t2-k+1

2•42t2-k+2

＜0
即(42t2-k+1)(-4t2-2t+1)+(4t2-2t+1)(-42t2-k+1)＜0
整理得43t2-2t-k＞1，因底数4＞1，故3t²-2t-k＞0
上式对一切t∈R均成立，从而判别式△=4+12k＜0
∴k＜-

1

3

点评：本题主要考查了奇函数的定义f（-x）=-f（x）及奇函数的性质f（0）=0的应用，函数的单调性的判断及函数的恒成立与函数的最值求解的相互关系的转化，属于函数的综合应用．