Question

已知数列{a_n}满足：a1=

1

2

，an+1=an2+an，用[x]表示不超过x的最大整数，则[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2012+1

]的值等于

1

．

Answer 1

分析：由题意说明数列的项为正，化简数列递推关系式为

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，求出 [

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2012+1

]的范围，即可求出表达式的最大整数．

解答：解：∵a1=

1

2

，an+1=an2+an＞0，所以数列是增数列，并且

1

an

＞0，
则

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，
∴[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2012+1

]
=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

a2011

-

1

a2012

=

1

a1

-

1

a2012

＜

1

a1

=2，
又∵a₁=

1

2

，a₂=

3

4

，a₃=

16

21

，
∴

1

a1+1

+

1

a2+1

=

2

3

+

4

7

＞1．
∴[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2012+1

]∈（1，2）．
∴[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2012+1

]=1．
故答案为：1

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，新定义的应用，确定表达式的取值范围是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．