Question

函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）当x∈(0，  

1

2

)时，f（x）+2＜a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=1，y=0，代入关系式化简计算即可．
（2）令y=0，结合（1）得出的f（0）=-2．代入关系式化简整理即可．
（3）若f（x）+2＜a恒成立，则a的取值应大于或等于g（x）=f（x）+2的最大值．主要工作转化为函数最大值求解．

解答：解：（1）令x=1，y=0得f（1）-f（0）=（1+2×0+1）×1=2，
移向得出f（0）=f（1）-2=0-2=-2
∴f（0）=-2．…（4分）
（2）令y=0得f（x）-f（0）=（x+2×0+1）x=x（x+1），…（7分）
于是f（x）=x（x+1）+f（0）=x²+x-2．…（9分）
（3）令g（x）=f(x)+2=x2+x=(x+

1

2

)2-

1

4

，…（11分）
根据二次函数的性质，
g（x）=f(x)+2=(x+

1

2

)2-

1

4

在区间(0，  

1

2

)上是增函数，…（13分）
∴g（x ）∈(g(0)，  g(

1

2

))，即g(x)∈(0， 

3

4

)．…（15分）
∵当x∈(0，  

1

2

)时，f（x）+2＜a恒成立，故a≥

3

4

． …（16分）

点评：本题考查了二次函数的性质，不等式恒成立，及抽象函数问题．考查构造、转化、计算能力．解决抽象函数问题，常常采用由特殊到一般的思路：根据具体问题，对表达式中的字母灵活赋值、构造．