Question

设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与直线y=2相切，求a、b的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与直线y=2相切，把x=1代入导函数得到导函数值为0，把x=1代入f（x）中得到函数值为2，列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a和b的值；
（2）把导函数分解因式，分a大于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，即可得到函数的单调区间．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-3a，（2分）
∵曲线在点（1，f（1））处与直线y=2相切，
∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

3-3a=0 1-3a+b=2

，（4分）
解得

a=1 b=4

．（5分）
（2）∵f'（x）=3x²-3a=3（x²-a）（a≠0）（7分）
（i）当a＜0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；（9分）
（ii）当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞

a

或x＜-

a

，（10分）
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）；单调减区间为（-

a

，

a

）．（12分）

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据导函数的正负判断函数的得到区间，是一道中档题．