题目内容
【题目】直线y=x+a与抛物线y2=5ax（a＞0）相交于A，B两点，C（0，2a），给出下列4个命题：
p1：△ABC的重心在定直线7x﹣3y=0上，p2：|AB| 
的最大值为2 
；
p3：△ABC的重心在定直线 3x﹣7y=0上；p4：|AB| 的最大值为2 
．
其中的真命题为（ ）
A.p1 ， p2
B.p1 ， p4
C.p2 ， p3
D.p3 ， p4
【答案】A
【解析】解：如图，
联立 
，得x2﹣3ax+a2=0．
△=9a2﹣4a2=5a2＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=3a， 
．
∴y1+y2=x1+x2+2a=5a，
∵C（0，2a），由重心坐标公式可得：△ABC的重心坐标为（ 
， 
）=（a， 
）．
把点（a， ）代入7x﹣3y=0成立，代入 3x﹣7y=0不成立，
∴命题p1是真命题，p3是假命题；
|AB|= 
= 
．
∴|AB| 
= 
，
令g（a）=﹣a3+3a2（a＞0），则g′（a）=﹣3a2+6a=﹣3a（a﹣2），
当a∈（0，2）时，g′（a）＞0，当a∈（2，+∞）时，g′（a）＜0，
∴g（a）在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，
则g（a）max=g（2）=4，
∴|AB| 的最大值为 
，
∴命题p2是真命题，p4是假命题．
∴真命题是p1，p2 ．
所以答案是：A．
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