Question

（本小题满分13分）
如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°.

(1)求此正三棱柱的侧棱长；
(2)求平面ABD与平面CBD夹角的余弦;
(3)求点C到平面ABD的距离.

Answer 1

（1）
（2）
（3）

解析解：（1）设正三棱柱—的侧棱长为．取中点O，连AO．
是正三角形，
又底面侧面，且交线为．

连OD，则直线与侧面所成的角为
在中，AO=OD,,解得．   
此正三棱柱的侧棱长为．                        ……………………5分
（2）如图，建立空间直角坐标系．

则．
设为平面的法向量．
由 得．
取 又平面的一个法向量                         
．即为所求.
…………10分
（3）由（Ⅱ）解法2，
点到平面的距离
＝．                       …………13分