题目内容
（2012•蓝山县模拟）△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且满足a2-ab+b2=c2，
（1）求角C；
（2）若△ABC的周长为2，求△ABC面积的最大值．
（1）求角C；
（2）若△ABC的周长为2，求△ABC面积的最大值．
分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，把已知的等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由三角形的周长为2，用a与b表示出c，代入已知的等式，得到a与b的关系式，整理得3ab+4=4（a+b），利用基本不等式求出a+b的最小值，以及此时a与b的关系，进而得到4（a+b）的最小值，可得出3ab+4的最小值，列出关于
的不等式，求出不等式的解集即可得到
的范围，得到ab的最大值，并求出此时a与b的值，最后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinC及a和b的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．
（2）由三角形的周长为2，用a与b表示出c，代入已知的等式，得到a与b的关系式，整理得3ab+4=4（a+b），利用基本不等式求出a+b的最小值，以及此时a与b的关系，进而得到4（a+b）的最小值，可得出3ab+4的最小值，列出关于
| ab |
| ab |
解答：解：（1）由a2-ab+b2=c2，得a2+b2-c2=ab，
利用余弦定理得cosC=
=
，
∵C为三角形的内角，
∴C=
；
（2）由a2-ab+b2=c2=（2-a-b）2，即3ab+4=4（a+b），
而 a+b≥2
，当且仅当a=b时取等号，
即3ab+4≥8
，
即3ab-8
+4≥0，
解得：
≤
或
≥2（舍去）
所以ab≤
，又sinC=
，
则S△ABC=
absinC=
ab，
当a=b=
时，S△ABC有最大值为
．
利用余弦定理得cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
∵C为三角形的内角，
∴C=
| π |
| 3 |
（2）由a2-ab+b2=c2=（2-a-b）2，即3ab+4=4（a+b），
而 a+b≥2
| ab |
即3ab+4≥8
| ab |
即3ab-8
| ab |
解得：
| ab |
| 2 |
| 3 |
| ab |
所以ab≤
| 4 |
| 9 |
| ||
| 2 |
则S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
当a=b=
| 2 |
| 3 |
| ||
| 9 |
点评：此题考查了余弦定理，基本不等式，特殊角的三角函数值以及三角形的面积公式，灵活运用基本不等式 a+b≥2
，（当且仅当a=b时取等号）是求出三角形的最大面积的关键．
| ab |
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