Question

（2012•蓝山县模拟）已知m是一个给定的正整数，如果两个整数a，b被m除得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a≡b（modm），例如：5≡13（mod4）．若2²⁰¹⁰≡r（mod7），则r可以为（　　）

A．2008

B．2009

C．2010

D．2011

Answer 1

分析：2²⁰¹⁰=8⁶⁷⁰=（7+1）⁶⁷⁰=

C

0 670

×7670+…+

C

669 670

×7+

C

670 670

，可知2²⁰¹⁰被7除得的余数为1，再判断2010≡1（mod7），即可得到结论．

解答：解：由题意，2²⁰¹⁰=8⁶⁷⁰=（7+1）⁶⁷⁰=

C

0 670

×7670+…+

C

669 670

×7+

C

670 670

∴2²⁰¹⁰≡1（mod7），
∵2010=7×287+1
∴2010≡1（mod7），
∴r可以为2010
故选C，

点评：本题考查新定义，考查二项式定理的运用，解题的关键是确定2²⁰¹⁰被7除得的余数为1．