Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若存在x∈[

π

4

，

π

2

]，使不等式|f（x）-m|≤2成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先通过二倍角公式的变形及辅助角公式，把函数化简为一个角的三角函数，进而求函数的最大与最小值，
（2）由|f（x）-m|≤2可得f（x）-2≤m≤f（x）+2，从而采用分类参数的方法可得f（x）-2≤m≤f（x）+2，而由x∈[

π

4

，

π

2

]可求f（x）的范围，代入可求 m的范围．

解答：解：（1）f（x）=1-cos（2x+

π

2

）-

3

cos2x
=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin（2x-

π

3

），
x∈[

π

4

，

π

2

]，

π

6

≤2x-

π

3

≤

2

3

π
∴当x=

π

4

时，f（x）取最小值2；
当x=

5

12

π时，f（x）取最大值3．
（2）由|f（x）-m|≤2
即f（x）-2≤m≤f（x）+2
由2≤f（x）≤3，由存在x使|f（x）-m|≤2，
∴所求m的取值范围是[0，5]．

点评：（1）辅助角公式一直是三角函数化简中的一个重要的公式，常结合二倍角及和差角公式对函数化简然后研究三角函数的性质（2）注意正弦函数的性质的运用．