Question

定义在R上的可导函数y=f（x）满足f（x+5）=f（-x），（2x-5）f′（x）＞0．已知x₁＜x₂，则“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的

充分必要

条件．

Answer 1

分析：求出函数y=f（x）图象的对称轴，然后根据（2x-5）f'（x）＞0，判定函数在对称轴两侧的单调性，最后根据函数的单调性对充分性和必要性分别加以验证，即可得到本题答案．

解答：解：∵f（5+x）=f（-x），∴函数y=f（x）的图象关于x=

5

2

对称
∵（2x-5）f'（x）＞0，
∴x＞

5

2

时，f'（x）＞0，可得函数f（x）单调递增；当x＜

5

2

时，f'（x）＜0，可得函数f（x）单调递减
①当f（x₁）＞f（x₂）时，结合x₁＜x₂，由函数单调性可得

5

2

≤x₂＜5-x₁或x₁＜x₂＜

5

2

∴x₁+x₂＜5成立，故充分性成立；
②当x₁+x₂＜5时，因为x₁＜x₂，必有x₁＜5-x₂≤

5

2

成立，
所以结合函数的单调性，可得f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要性成立
综上所述，“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的充分必要条件．
故答案为：充分必要

点评：本题给出函数单调性的命题，要我们进行充分必要性的判断，主要考查函数的单调性、用导函数的正负判断函数单调和充分必要条件的判定等知识，属于属中档题．