题目内容

已知等比数列{a_n}的首项a₁＞0，公比q＞0，前n项和为S_n．
（Ⅰ）试比较 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的大小；
（Ⅱ）设{a_n}满足： $数学公式$ ，数列{b_n}满足： $数学公式$ ，求数列{a_n}的通项公式和使数列{b_n}成等差数列的正数k的值．

解：（Ⅰ）①当q=1时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
②当q＞0且q≠1时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
此时也有 $\text{[math]}$ ．
综上可知： $\text{[math]}$ ． …（4分）
（Ⅱ）当n=1时，lga₁=1?a₁=10. $\text{[math]}$ ，①
∴当n≥2时， $\text{[math]}$ ，②
将①-②得： $\text{[math]}$ ，
∴lga_n=n，∴a_n=10ⁿ．
综上可知：对n∈N^*，a_n=10ⁿ． …（8分）
∴ $\text{[math]}$ ．
要使{b_n}成等差数列，则 $\text{[math]}$ 为常数，…（10分）
故只须lgk=0，即k=1． …（12分）
分析：（Ⅰ）对公比q的值进行分类讨论：①当q=1时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，②当q＞0且q≠1时，结合作差法比较大小即可得到： $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）先就n的值讨论：当n=1时；当n≥2时，两式相减，从而求出数列{a_n}的通项公式，再计算出数列{b_n}的通项公式，要使{b_n}成等差数列， $\text{[math]}$ 为常数从而求出k值．
点评：本小题主要考查等差关系的确定、数列的求和、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．