Question

已知正项数列{a_n}的首项a₁=m，其中0＜m＜1，函数f(x)=

x

1+2x

．
（1）若数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n≥1且n∈N），证明{

1

an

}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}满足a_n+1≤f（a_n）（n≥1且n∈N），数列{b_n}满足b_n=

an

2n+1

，试证明b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：本题考查数列与函数的关系、等差数列的证明、求数列的通项公式、求数列的前n项和、裂项法求和等数列知识和方法，
（1）根据所给函数f(x)=

x

1+2x

及a_n+1=f（a_n）可得数列的递推关系，由此获得

1

an+1

=

1

an

+2，数列{

1

an

}是等差
数列得证，并由{

1

an

}的通项公式进而得到数列{a_n}的通项公式；
（2）根据{a_n}满足a_n+1≤f（a_n）可得

1

an+1

-

1

an

≥2，由此推得

1

an

-

1

a1

≥2(n-1)，然后由数列{bn}满足bn=

an

2n+1

即得b1+b2+ … +bn=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

-

1

4n+2

，由此问题得证．

解答：解：（1）∵f（x）=

x

1+2x

∴an+1=f(an) =

an

1+2an

∴

1

an+1

=

1

an

+2
∴{

1

an

}是公差为2的等差数列
又a1=m，∴

1

a1

=

1

m

∴

1

an

=

1

m

+2(n-1)
∴an=

m

1+2(n-1)m

（2）由（1）知0＜a_n+1≤

an

1+2an

∴

1

an+1

-

1

an

≥2
∴

1

a2

-

1

a1

≥ 2，

1

a3

-

1

a2

≥2，…，

1

an+1

-

1

an

≥2，
则

1

an

-

1

a1

≥2(n-1)
而a₁=m，则an≤

m

1+2(n-1)m

∵0＜m＜1，∴

1

m

＞1
∴a1≤

m

1+2(i-1)m

=

1

1 m +2(i-1)

，i=1，2，3，…，n
∴bi=

ai

1+2i

≤

1

(2i+1)(2i-1)

=

1

2

(

1

2i-1

-

1

2i+1

)，i=1，2，3，…，n
∴b1+b2+…+bn=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

；
∴b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．

点评：本题综合性较强，涉及了函数与数列的关系、等差数列的证明、通项公式、求和公式等，注意解题思路分析，避免因为题意不清走了弯路，这点对于该题特别重要；
注意（2）中所使用的累加法，通过

1

a2

-

1

a1

≥ 2，

1

a3

-

1

a2

≥ 2，…，

1

an+1

-

1

an

≥2的累加，获得结果

1

an

-

1

a1

≥2(n-1)，从而是问题得以解决；
在证明b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

时，仍然使用了数列求和中常用的“裂项法”，使其和最终化为

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

而得到解决．