Question

已知数列的前项和满足：（为常数，且）． 

（1）求的通项公式；

（2）设，若数列为等比数列，求的值；

（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为 ,求证：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查数列的通项公式和数列求和问题，考查学生的计算能力和分析问题的能力以及推理论证的能力.第一问，是由求；第二问，先把第一问的结论代入，整理出表达式，已知为等比数列，所以用数列的前3项的关系列式求；第三问，把第二问的结果代入，化简表达式，本问应用了放缩法和分组求和的方法.

试题解析：（1）∴

当时，

，即是等比数列． ∴；                 4分

（2）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，

 则有而

故，解得，                7分

再将代入得成立， 所以．                8分

（3）证明：由（Ⅱ）知，所以

，                         9分

由得

所以，                12分

从而

．

即．                        14分

考点：1. 由求；2.等比数列的通项公式；3.等比中项；4.放缩法；5.分组求和.