Question

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为

V（t）=

（Ⅰ）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i-1＜t＜t表示第i月份（i=1,2,…,12）,问一年内哪几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.

Answer 1

解：（Ⅰ）①当0＜t10时，V(t)=(-t²+14t-40)

化简得t²-14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.

②当10＜t12时，V（t）＝4（t-10）(3t-41）+50＜50,

化简得（t-10）(3t-41）＜0,

解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.

综合得0<t<4,或10<t12,

故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月.

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.

由V′（t）=

令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：

t	(4,8)	8	(8,10)
V′(t)	+	0	-
V(t)		极大值

由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e²+50=108.52(亿立方米).

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。