Question

设数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=na_n-2n（n-1）．等比数列{b_n}的前n项和为T_n，公比为a₁，且T₅=T₃+2b₅．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

anan+1

}的前n项和为M_n，求证：

1

5

≤M_n＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）根据T₅=T₃+2b₅ ，求得 b₄=b₅，得到公比 a₁=

b5

b4

=1，再由当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1 可得数列{a_n}是以1为首项，以4为公差的等差数列，由此求得数列{a_n}的通项公式．
（2）用裂项法求得 M_n =

1

4

（1-

1

4n+1

）＜

1

4

，再由数列{ M_n }是增数列，可得 M_n≤M₁=

1

5

，从而命题得证．

解答：解：（1）∵等比数列{b_n}的前n项和为T_n，公比为a₁，且T₅=T₃+2b₅ ，∴b₄+b₅=2b₅，
∴b₄=b₅，∴公比 a₁=

b5

b4

=1，故等比数列{b_n}是常数数列．
数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=na_n-2n（n-1），当n≥2时，
a_n=s_n-s_n-1=na_n-2n（n-1）-[na_n-1-2（n-1）（n-2）]，∴a_n-a_n-1=4 （n≥2）．
∴数列{a_n}是以1为首项，以4为公差的等差数列，a_n=4n-3．
（2）∵数列{

1

anan+1

}的前n项和为M_n，

1

anan+1

=

1

(4n-3)[4(n+1)-3]

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，
∴M_n =

1

4

[1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

]=

1

4

（1-

1

4n+1

）＜

1

4

．
再由数列{ M_n }是增数列，∴M_n≥M₁=

1

5

．
综上可得，

1

5

≤M_n＜

1

4

．

点评：本题主要考查数列的递推公式的应用，用放缩法证明不等式，属于难题．