Question

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，沿对角线BD将DABC向上折起，使点A移至点P，且P在平面BCD的射影O在DC上．

    （1）求证：PD^PC；

    （2）求二面角P-DB-C的平面角的余弦值；

    （3）求直线CD与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）∵ PO^平面BCD，DC^BC，PD在底面BCD上的射影为DC，∴ PD^BC．     又PD^PB，PB∩PC=P，∴ PD^平面PBC，PCÌ平面PBC  ∴ PD^PC．     （2）过P作PN^BD于N连结NO．     ∵ PO^平面BDC，∴ PO^BD，∴ BD^平面PNO，     ∴ ÐPNO就是二面角P-BD-C的平面角，且ÐPON是直角．     RtDPDB中，PD=2，BP=6，．     ∴ ÐPBD=30°，∴ PN=PB=3．     RtDPDC中，PD=2，PC=2，DC=6．     ，     ∴ ，则cosÐPNO=．     （3）过O作OM^PN于点M，连DM，∵ BD^平面PNO，∴ OM^BD，∴ OM^平面PDB．∴ ÐODM就是直线DC与平面PDB所成的角．RtDPON中，OM=PO×sinÐNPO=PO× cosÐPNO=PO×cosÐPNO=． ∴ ÐBDC=30°，∴ DO=2ON=2，∴