Question

已知函数f(x)=

ax

1+x

的函数图象过点(1，

1

2

)
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用函数的单调性的定义证明函数f（x）在定义域（-1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=

ax

1+x

的函数图象过点(1，

1

2

)，可得

1

2

=

a

1+1

，由此解得a的值，从而求出函数f（x）的解析式．
（2）设-1＜x₁＜x₂，由f（x₁）-f（x₂）=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

＜0，可得函数f（x）在定义域（-1，+∞）上是增函数．

解答：解：（1）由函数f(x)=

ax

1+x

的函数图象过点(1，

1

2

)，可得

1

2

=

a

1+1

，
∴a=1，故函数f（x）=

x

1+x

．
（2）由于函数f（x）=

x

1+x

=1-

1

1+x

，设-1＜x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=

1

1+x2

-

1

1+x1

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

，
再由-1＜x₁＜x₂ 可得1+x₁＞0，1+x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
故 函数f（x）在定义域（-1，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，函数的单调性的判断和证明，属于基础题．