题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ +a|x|，a为实数．
（1）当a=1，x∈[-1，1]时，求函数f（x）的值域；
（2）设m、n是两个实数，满足m＜n，若函数f（x）的单调减区间为（m，n），且n-m≤ $数学公式$ ，求a的取值范围．

解：设y=f（x）
（1）a=1时， $\text{[math]}$
当x∈（0，1]时， $\text{[math]}$ 为增函数，y的取值范围为（1，1+ $\text{[math]}$
当x∈[-1，0）时， $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ，∴x=t²-1
∴ $\text{[math]}$ ，
∴y的取值范围为 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴当a=1，x∈[-1，1]时，函数f（x）的值域为[1，1+ $\text{[math]}$
（2）令 $\text{[math]}$ ，
∴x=t²-a，t≥0，y=g（t）=t+a|t²-a|
①a=0时， $\text{[math]}$ 无单调减区间
②a＜0时，y=g（t）=at²+t-a²，t在 $\text{[math]}$ 上g（t）是减函数，
∴x在 $\text{[math]}$ 上f（x）是减函数
∴a＜0不成立
③a＞0时， $\text{[math]}$
当且仅当 $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ 时，在t $\text{[math]}$ 上，g（t）是减函数，即 $\text{[math]}$ 时，f（x）是减函数
∴ $\text{[math]}$
∴（a-2）（16a²+a+2）≤0
∴a≤2
∴a的取值范围为 $\text{[math]}$
分析：（1）设y=f（x），a=1时， $\text{[math]}$ ，将绝对值符号化去，分类讨论当x∈（0，1]时， $\text{[math]}$ 为增函数；当x∈[-1，0）时， $\text{[math]}$ ，分别求出它们函数值的取值范围，进而可求函数f（x）的值域；
（2）令 $\text{[math]}$ ，则y=g（t）=t+a|t²-a|，分类讨论：①a=0时， $\text{[math]}$ 无单调减区间；②a＜0时，x在 $\text{[math]}$ 上f（x）是减函数；③a＞0时， $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ 时，在t $\text{[math]}$ 上，g（t）是减函数，即 $\text{[math]}$ 时，f（x）是减函数，根据函数f（x）的单调减区间为（m，n），且n-m≤ $\text{[math]}$ ，可求a的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．