Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），过点E（

a2

c

，0）的直线与椭圆相交与A，B两点，且F₁A∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|求椭圆的离心率．

Answer 1

分析：根据题意，得F₂B是△F₁AE的中位线，得|F₁F₂|=|F₂E|，将此转化为a、c的关系式，再结合离心率的公式进行化简整理，即可得到该椭圆的离心率．

解答：解：∵△F₁AE中，F₁A∥F₂B，且|F₁A|=2|F₂B|
∴F₂B是△F₁AE的中位线，得|F₁F₂|=|F₂E|
∵|F₁F₂|=2c，|F₂E|=

a2

c

-c
∴2c=

a2

c

-c，两边都除以a，得2•

c

a

=

a

c

-

c

a

∵椭圆的离心率e=

c

a

，得

a

c

=

1

e

∴2e=

1

e

-e，得3e²=1，解之得e=

3

3

（舍负）
综上可得：椭圆的离心率为

3

3

点评：本题给出椭圆的右焦点到右准线的距离恰好等于焦距，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．