Question

已知圆M：（x+1）²+y²=8，定点N（1，0），点P为圆M上的动点，若Q在NP上，点G在MP上，且满足．
（I）求点G的轨迹C的方程；
（II）直线l过点P（0，2）且与曲线C相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题设知GP|=|GN|，，由|MN|=2知G是以M，N为焦点的椭圆，由此能求出点G的轨迹C的方程．
（II）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），由得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，由直线l与椭圆相交于A、B两点，再由根的判别式的根与系数的关系进行求解．
解答：解：（I）∵
∴|GP|=|GN|
∴
∵|MN|=2
∴G是以M，N为焦点的椭圆
设曲线C：，得a²=2，b²=1
∴点G的轨迹C的方程为：（6分）
（II）由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+2A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由得：（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A、B两点，
∴
由根与系数关系得
令
∴
当且仅当，即m=2时，，此时
∴所求的直线方程为（13分）
点评：本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意根的判别式的根与系数的关系的合理运用．