Question

如图，三棱锥P—ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E为PC的中点.

（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；

（2）求证：PA⊥BE；

（3）求二面角B—PA—C的大小.

Answer 1

证明：（1）AC⊥BC，PB⊥底ABC;∴PB⊥AC.

∴BC∥PB=B.

∴AC⊥面PBC.

又AC面PAC,故面PAC⊥面PBC.

（2）面PAC⊥面PBC.交线为PC,

∵PB=BC且E为PC的中点,∴BE⊥PC.

又BE面PBC,∴BE⊥面PAC.

∴BE⊥PA.

解析：（3）过B作BF⊥PA于F， 连EF，由三垂线逆定理知：

PA⊥EF.∴∠BFE是二面角B—PA—C的平面角.

BE=4×=2.AB=4,PB=4  ∴PA=4.

BF=.在Rt△BEF中，∠BEF=90°.

∴sinBFE=.

∴∠BFE=60°.