题目内容
如图，已知O为△ABC内一点，D、E、F分别为边 BC、CA及AB中点．（1）求证：
+
+
=0是O为△ABC的重心的充要条件．
（2）求证：△ABC与△DEF重心重合．
??
??证明：（1）若++=0，则
+
=-
.
??以OB、OC为邻边作OBPC，则
+
=
，且OP平分BC.
??∴-
=
，即
与
反向.即A、O、P共线.
??∴O在BC边中线上.
??同理，O在AC、AB边中线上，
??∴O为△ABC重心.
??反之，若O是△ABC的重心.设D为BC边上中点，则｜
｜=2｜
｜，??∴|
|=-2|
|.又延长OD到P，使｜
｜=｜
｜，则OBPC为平行四边形.
??∴
+
=
=2
=-
.
??即
+
+
=0.综上所述，命题成立.
??（2）若O是△ABC的重心，则
=-
，
=-
，
=-12
??∴
+
+
=-
（
+
+
）.
??由（1）知，
+
+
=0.从而O为△DEF的重心.
练习册系列答案
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