题目内容

设定义在R上的函数f(x)对任意x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，且当x＞0时，f(x)＜0，试判断函数f(x)的增减性．

答案：
解析：

　　分析：对等式恰当赋值，可得f(x)为奇函数，结合条件“当x＞0时，f(x)＜0”，利用函数单调性的定义判断其增减性．

　　解：令x＝y＝0，得f(0)＝0．又令y＝－x，得f(0)＝f(－x)＋f(x)＝0，则有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．设x1＜x2，则x2－x1＞0．由题设，可得f(x2－x1)＜0，若令y＝－x1，x＝x2，则f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)是R上的减函数．

　　点评：本题是抽象函数问题，赋值法是有效方法之一，而运用定义判断函数的增减性是解此类题的首选方法．


练习册系列答案
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设定义在R上的函数f（x）=
1
x-2
(x＞2)
1
2-x
(x＜2)
1(x=2)
，若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=3有且只有3个不同实数解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则x12+x22+x32=
 
．
设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=3，若f（1）=2，则f（5）=
2
2
；f（2011）=
3
2
3
2
．
（2013•顺义区二模）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠
π
2
时，(x-
π
2
)f′(x)＜0．则函数y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零点个数为
6
6
．
设定义在R上的函数f（x）满足f（x+π）=f（x-π），f（
π
2
-x）=f（
π
2
+x），当x∈[-
π
2
，
π
2
]时，0＜f（x）＜1；当x∈(-
π
2
，
π
2
)且x≠0时，x•f′（x）＜0，则y=f（x）与y=cosx的图象在[-2π，2π]上的交点个数是（　　）
设定义在R上的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x+1）=-f（x）对任意的x都成立；②当x∈[0，1]时，f（x）=ex-e•cos
πx
2
+m（其中e=2.71828…是自然对数的底数，m是常数）．记f（x）在区间[2013，2016]上的零点个数为n，则（　　）
A、m=-
1
2
，n=6
B、m=1-e，n=5
C、m=-
1
2
，n=3
D、m=e-1，n=4

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