Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，准线方程为x=±

1

2

，渐近线为y=±

3

x．
（1）求双曲线的方程；
（2）若A、B分别为双曲线的左、右顶点，双曲线的弦PQ垂直于x轴，求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

Answer 1

（1）设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
因为准线方程为x=±

1

2

，渐近线为y=±

3

x．
所以

a2 c = 1 2 b a = 3

解得a=1，b=

3

，
所以双曲线方程为x2-

y2

3

=1
（2）设点P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），M（x，y），又知A（-1，0），B（1，0），
则可得到直线的方程PA：y=

y0

x0+1

(x+1)；
QB：y=

-y0

x0-1

(x-1)
由

y= y0 x0+1 (x+1) y= -y0 x0-1 (x-1)

得

x0= 1 x y0= y x

代入方程x02 -

y02

3

=1
得x2+

y2

3

=1，
又由|x₀|＞1得-1＜x＜1且x≠0得到xy≠0
所以直线AP与BQ的交点M的轨迹方程为x2+

y2

3

=1，（-1＜x＜1且xy≠0）