Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n都有2S_n=（n+2）a_n-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn=

1

a1•a3

+

1

a2•a4

+…+

1

an•an+2

，求

lim

n→∞

Tn．

Answer 1

（Ⅰ）法一：在2S_n=（n+2）a_n-1中，
令n=1，得2a₁=3 a₁-1，求得a₁=1，
令n=2，得2（a₁+a₂）=4a₂-1，求得a₂=

3

2

；
令n=3，得2（a₁+a₂+a₃）=5 a₃-1，求得a₃=2；
令n=4，得2（a₁+a₂+a₃+a₄）=6 a₄-1，求得a₄=

5

2

．
由此猜想：a_n=

n+1

2

．  …
下面用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，a₁=

1+1

2

=1，命题成立．
（2）假设当n=k时，命题成立，即a_k=

k+1

2

，且2S_k=（k+2）a_k-1，则由2S_k+1=（k+3）a_k+1-1及S_k+1=S_k+a_k+1，得（k+3）a_k+1-1=2S_k+2a_k+1，即（k+3）a_k+1-1=[（k+2）a_k-1]+2a_k+1．则a_k+1=

(k+2)ak

k+1

=

k+2

2

，这说明当n=k+1时命题也成立．根据（1）、（2）可知，对一切n∈N^*命题均成立．                        …（6分）
法二：在2S_n=（n+2）a_n-1中，令n=1，求得a₁=1．
∵2S_n=（n+2）a_n-1，
∴2S_n-1=（n+1）a_n-1-1．  
当n≥2时，两式相减得：2（S_n-S_n-1）=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
即  2 a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1整理得，

an

an-1

=

n+1

n

． …（3分）
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a₁=

n+1

n

•

n

n-1

•…•

4

3

•

3

2

•1=

n+1

2

．   
当n=1时，a_n=

1+1

2

，满足上式，
∴a_n=

n+1

2

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=

n+1

2

，
则

1

an•an+2

=

4

(n+1)(n+3)

=2（

1

n+1

-

1

n+3

），
∴Tn=

1

a1•a3

+

1

a2•a4

+…+

1

an•an+2

=2[（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

4

-

1

6

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）+（

1

n+1

-

1

n+3

）]
=2（

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

）．
∴

lim

n→∞

Tn=

5

3

．