Question

（2013•江西）抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线

x2

3

-

y2

3

=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=

6

．

Answer 1

分析：求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．

解答：解：抛物线的焦点坐标为（0，

p

2

），准线方程为：y=-

p

2

，
准线方程与双曲线联立可得：

x2

3

-

(- p 2 )2

3

=1，
解得x=±

3+ p2 4

，
因为△ABF为等边三角形，所以

p2+x2

=2|x|，即p²=3x²，
即p2=3(3+

p2

4

)，解得p=6．
故答案为：6．

点评：本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．