Question

设a＞0且a≠0，函数f(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在（3，f（3））处切线的斜率；
（2）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数 f(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx，根据a=2，我们易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切线的斜率k=f′（3）．
（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数函数f（x）的极值点．

解答：解：（1）由已知x＞0（2分）
当a=2时，f′(x)=x-3+

2

x

（4分）
所以f′(3)=

2

3

，
曲线y=f（x）在（3，f（3））处切线的斜率为

2

3

，（6分）
（2）f′(x)=x-(a+1)+

a

x

=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

（8分）
由f'（x）=0得x=1或x=a，（9分）
①当0＜a＜1时，
当x∈（0，a）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（a，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时x=a是f（x）的极大值点，x=1是f（x）的极小值点（10分）
②当a＞1时，
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（a，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增
此时x=1是f（x）的极大值点，x=a是f（x）的极小值点（13分）
综上，当0＜a＜1时，x=a是f（x）的极大值点，x=1是f（x）的极小值点；
当a=1时，f（x）没有极值点；
当a＞1时，x=1是f（x）的极大值点，x=a是f（x）的极小值点

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知函数的解析式求出导函数的解析式是解答本题的关键，还考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．