Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n≥1．
（1）写出求数列{a_n}的前3项a₁，a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对任意的整数m＞4，有

1

a4

+

1

a5

+…+

1

am

＜

7

8

．

Answer 1

分析：（1）是考查已知递推公式求前几项，属于基础题，需注意的是S₁=a₁，需要先求出a₁才能求出a₂，这是递推公式的特点．
（2）的解答需要利用公式an=

s1，n=1 sn-sn-1

，n≥2进行代换，要注意n=1和n≥2的讨论，在得到a_n=2a_n-1+2（-1）^n-1，可以设an+

2

3

(-1)n=2[an-1+

2

3

(-1)n-1]构造一个等比数列；
（3）的解答需要在代换后，适当的变形，利用不等式放缩法进行放缩．

解答：解：（1）当n=1时，有：S₁=a₁=2a₁+（-1）?a₁=1；
当n=2时，有：S₂=a₁+a₂=2a₂+（-1）²?a₂=0；
当n=3时，有：S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃+（-1）³?a₃=2；
综上可知a₁=1，a₂=0，a₃=2；
（2）由已知得：a_n=S_n-S_n-1=2a_n+（-1）ⁿ-2a_n-1-（-1）^n-1
化简得：a_n=2a_n-1+2（-1）^n-1
上式可化为：an+

2

3

(-1)n=2[an-1+

2

3

(-1)n-1]
故数列{an+

2

3

(-1)n}是以a1+

2

3

(-1)1为首项，公比为2的等比数列．
故an+

2

3

(-1)n=

1

3

2n-1∴an=

1

3

•2n-1-

2

3

(-1)n=

2

3

[2n-2-(-1)n]
数列{a_n}的通项公式为：an=

2

3

[2n-2-(-1)n]．
（3）由已知得：

1

a4

+

1

a5

+…+

1

am

=

3

2

[

1

22-1

+

1

23-1

++

1

2m-2-(-1)m

]=

3

2

[

1

3

+

1

9

+

1

15

+

1

33

+

1

63

+…+

1

2m-2-(-1)m

]=

1

2

[1+

1

3

+

1

5

+

1

11

+

1

21

+]＜

1

2

[1+

1

3

+

1

5

+

1

10

+

1

20

+]=

1

2

[

4

3

+

1 5 (1- 1 2m-5 )

1- 1 2

]=

1

2

[

4

3

+

2

5

-

2

5

•

1

2m-5

]=

13

15

-

1

5

•(

1

2

)m-5＜

13

15

=

104

120

＜

105

120

=

7

8

．
故

1

a4

+

1

a5

+…+

1

am

＜

7

8

（m＞4）．

点评：本题考查的递推数列较为典型，对公式an=

s1，n=1 sn-sn-1

，n≥2的应用是高考考查的重点，要能熟练的应用．另外本题（2）中对构造数列的考查较好，（3）中不等式证明中的放缩是一个难点，需要有扎实的基本功及一定的运算能力，对运算放缩能力要求较高．