Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM⊥平面PBD．
（1）求PA的长；
（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，由

AM

⊥平面PBD，

AM

•

BD

=

AM

•

BP

=0，可得P的竖坐标，
即得到PA的长．
（2）先求出平面AMD的一个法向量n，

CP

与法向量n的夹角的余弦值就等于

CP

与平面AMD夹角的正弦值．

解答：解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）．
因为M是PC中点，所以M点的坐标为（

1

2

，

1

2

，

a

2

），
所以

AM

=（

1

2

，

1

2

，

a

2

），

BD

=（-1，1，0），

BP

=（-1，0，a）．
（1）因为

AM

⊥平面PBD，所以

AM

•

BD

=

AM

•

BP

=0．即
-

1

2

+

a2

2

=0，所以a=1，即PA=1．（4分）
（2）由

AD

=（0，1，0），

M

=（

1

2

，

1

2

，

1

2

），
可求得平面AMD的一个法向量n=（-1，0，1）．
又

CP

=（-1，-1，1）．所以cos＜n，

CP

＞=

n•| CP |

|n|•| CP |

=

2

2 • 3

=

6

3

，故sin＜n，

CP

＞=

3

3

，
所以，PC与平面AMD所成角的正弦值为

3

3

．（10分）

点评：本题考查线面成的角、面面垂直的性质，两个向量的数量积的定义以及两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的
运算，注意向量CP和平面法向量的夹角的余弦值就等于PC与平面所成角的正弦值，这是解题的易错点．