Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=3a_n+2；数列{b_n}，其中b_n=a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=（2n-1）b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=3a_n+2得，a_n+1+1=3（a_n+1），可判断{a_n+1}为等比数列，可求得a_n+1，进而可得a_n；
（2）分组后分别用等比数列、等差数列求和公式即可求得S_n；
（3）由（1）先求得b_n，进而可得c_n，利用错位相减法即可求得T_n．

解答：解：（1）由a_n+1=3a_n+2得，a_n+1+1=3（a_n+1），
所以{a_n+1}为以a₁+1为首项、3为公比的等比数列，
所以a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，
故a_n=3ⁿ-1；
（2）由（1）得，S_n=a₁+a₂+…+a_n=（3-1）+（3²-1）+…+（3ⁿ-1）
=（3+3²+…+3ⁿ）-n
=

3(1-3n)

1-3

-n=

1

2

•3n+1-n-

3

2

；
（3）b_n=a_n+1=3ⁿ，所以c_n=（2n-1）b_n=（2n-1）3ⁿ，
所以T_n=1•3+3•3²+…+（2n-1）3ⁿ①，
3T_n=1•3²+3•3³+…+（2n-1）3ⁿ⁺¹②，
①-②得，-2T_n=3+2•3²+2•3³+…+2•3ⁿ-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+

2•32(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=2（1-n）•3ⁿ⁺¹-6，
所以T_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．

点评：本题考查递推公式、等差数列与等比数列的综合及数列求和问题，考查错位相减法求数列的前n项和，属中档题．