Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都是实数，且满足

S2S4

2

+

S 2 3

9

+2=0，则d的取值范围是

(-∞，-

2

]∪[

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：首先根据等差数列的前n项和公式化简

S2S4

2

+

S 2 3

9

+2=0，得（2a₁+d）（2a₁+3d）+（a₁+d）²=-2，将此式看作关于a₁的一元二次方程，利用△≥0 去求d的取值范围．

解答：解：∵

S2S4

2

+

S 2 3

9

+2=0，由等差数列的前n项公式得（2a₁+d）（2a₁+3d）+（a₁+d）²=-2，
展开并化简整理得5a₁²+10a₁d+4d²+2=0，将此式看作关于a₁的一元二次方程，d为系数．
∵a₁、d为实数，∴△=100d²-4×5×（4d²+2 ）≥0．化简整理得d²-2≥0，
∴d∈（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）
故答案为：（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）

点评：本题考查等差数列的前n项公式，一元二次方程根存在的判定，一元二次不等式的解法．本题的关键是用方程的眼光看待 5a₁²+10a₁d+4d²+2=0．