Question

从直线l：3x+4y+8=0上一点P向圆C：x²+y²-2x-2y+1=0引切线PA、PB，A，B为切点，
（1）求与直线l相切与圆C外切的面积最小的圆的方程；
（2）求四边形PACB的周长最小值及取得最小值时直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：当P与点C在直线l上的射影重合时，在线段PC上存在一点E，以E为圆心的圆与直线l相切且与圆C相外切，此时圆的面积达到最小值．算出直线PC方程为4x-3y-1=0，由点到直线的距离公式和两点间的距离公式加以计算，得出圆E的圆心和半径，即可得到所求面积最小的圆的方程；
（2）算出四边形PACB的周长为2（|PA|+1），由圆的切线的性质可得当|PC|取得最小值时，|PA|最小．因此，求出（1）中P点的坐标，运用两点间的距离公式算出|PA|=2

2

，即可得到四边形PACB的周长的最小值．此时直线AB是以P为圆心、|PA|为半径的圆与圆x²+y²-2x-2y+1=0的公共弦所在直线，由此可算出直线AB的方程．

解答：解：（1）圆C：x²+y²-2x-2y+1=0化成标准方程，得（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圆心为C（1，1），半径r=1．
根据题意可得当点P与C在直线l上的射影重合，即PC⊥l时，
在线段PC上存在一点E，以E为圆心的圆与直线l相切，且圆E与圆C外切，
此时圆的半径最小，故圆的面积也达到最小值．
∵直线l：3x+4y+8=0，∴设PC方程为4x-3y+m=0，
将C坐标代入得m=-1，可得PC方程为4x-3y-1=0．
∵点C到直线l的距离为|PC|=

|3+4+8|

32+42

=3，
∴圆E的半径r'=

1

2

（|PC|-1）=1．
设E（n，

1

3

（4n-1）），可得|EC|=

(n-1)2+[ 1 3 (4n-1)-1]2

=2，
解之得n=-

1

5

或

11

5

，而n=

11

5

时点E不在线段PC上，
故n=-

1

5

，可得E的坐标为（-

1

5

，-

3

5

），
∴与直线l相切与圆C外切的面积最小的圆的方程为（x+

1

5

）²+（y+

3

5

）²=1；
（2）根据题意，可得四边形PACB的周长为|PA|+|PB|+|CA|+|CB|=2（|PA|+|CA|）=2（|PA|+1）
∵|PA|=

|PC|2-|AC|2

=

|PC|2-1

∴|PC|取得最小值时，|PA|最小．
可得当点P与C在直线l上的射影重合，即PC⊥l时，四边形PACB的周长有最小值．
由（1），联解

4x-3y-1=0 3x+4y+8=0

，得P的坐标为（-

4

5

，-

7

5

）．
∴|PC|=

(- 4 5 -1)2+(- 7 5 -1)2

=3，可得|PA|=

|PC|2-1

=2

2

，
因此，四边形PACB的周长的最小值为2（|PA|+1）=4

2

+2．
∵以P为圆心、|PA|为半径的圆方程为（x+

4

5

）²+（y+

7

5

）²=8，
直线AB是以P为圆心、|PA|为半径的圆与圆x²+y²-2x-2y+1=0的公共弦所在直线，
∴将两圆的方程相减，可得公共弦AB的方程为9x+12y-16=0．
即当四边形PACB的周长最小时，直线AB的方程为9x+12y-16=0．

点评：本题给出直线上的动点P与圆C，过P作圆C的两条切线，求构成四边形的周长最小值及相应的切点弦所在直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系和坐标系内距离的求法等知识，属于中档题．