Question

（本小题满分14分）如图5，是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．（1）设，将用、、表示；

（2）设，，证明：是定值；

（3）记△与△的面积分别为、．求的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

：（1）

．…2分

（2）一方面，由（1），得；①

另一方面，∵是△的重心，

∴    ②…4分

而、不共线，∴由①、②，得…6分

解之，得，∴（定值）． …………………8分

（3）．……………………10分

由点、的定义知，，

且时，；时，．此时，均有．

  时，．此时，均有．

以下证明：．

（法一）由（2）知，

∵，∴．…………………………12分

∵，∴．

∴的取值范围．………………………………14分

（法二），

令，则，其中．

利用导数，容易得到，关于的函数在闭区间上单调递减，在闭区间上单调递增．………………………………12分

∴时，．

而或时，均有．

∴的取值范围．…………………………14分

注：也可以利用“几何平均值不小于调和平均值”来求最小值．